martes, 11 de diciembre de 2018

GRANDES MATEMÁTICOS QUE APORTARON AL CONOCIMIENTO DE LA MATEMATICA

Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. Algunos de estos  personajes que aportaron a la matemática y  especialmente al desarrollo del algebra:
Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. Algunos de estos  personajes que aportaron a la matemática y  especialmente al desarrollo del algebra:


Arquímedes
Fue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor, y astrónomo, y pese a que se conocen pocos detalles de su vida, es considerado como uno de los principales científicos de la antigüedad clásica.
Principales descubrimientos: Principio o principio de Arquímedes; Explicación del principio de la palanca; Método de exhausción para calcular el área bajo una curva; La constante matemática Pi (3.1416); La serie geométrica infinitesimal; La extracción de raíces cuadradas de números muy grandes antes de que aparecieran las reglas para dicho cálculo.




Herón de Alejandría
Físico y matemático griego que vivió en Alejandría en una época no exactamente determinada de los siglos I y II d. de C. Como matemático, aportó modestas contribuciones a la ciencia pura; sin embargo, como cultivador de las ciencias aplicadas fue, en la época tolemaica, el científico más ilustre después de Claudio Tolomeo.
Desarrolla la teoría de las cinco máquinas simples: palanca, tornillo, cuña, polea y plano inclinado, deduciéndola del estudio del movimiento de un cuerpo pesado sobre un plano inclinado, y la acompaña de numerosos problemas prácticos.





Diofanto de Alejandría
(Siglo III) Matemático griego. Sus escritos contribuyeron de forma notable al perfeccionamiento de la notación algebraica y al desarrollo de los conocimientos del álgebra de su época. Mediante artificios de cálculo supo dar soluciones particulares a numerosos problemas, y estableció las bases para un posterior desarrollo de importantes cuestiones matemáticas. De su obra se conservan varios volúmenes de la Aritmética (libro de inspiración colectiva, pero redactado por un solo autor) y fragmentos de Porismas y Números poligonales.




Pitágoras
(Isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C. - Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Aunque su nombre se halla vinculado al teorema de Pitágoras y la escuela por él fundada dio un importante impulso al desarrollo de las matemáticas en la antigua Grecia, la relevancia de Pitágoras alcanza también el ámbito de la historia de las ideas: su pensamiento, teñido todavía del misticismo y del esoterismo de las antiguas religiones mistéricas y orientales, inauguró una serie de temas y motivos que, a través de Platón, dejarían una profunda impronta en la tradición occidental.




Évariste Galois




(Bourg-la-Reine, Francia, 1811 - París, 1832) Matemático francés. Hijo de una familia de políticos y juristas, fue educado por sus padres hasta los doce años, momento en el que ingresó en el Collège Royal de Louis-le-Grand, donde enseguida mostró unas extraordinarias aptitudes para las matemáticas.









Augustin-Louis Cauchy
(París, 1789 - Sceaux, Francia, 1857) Matemático francés. Era el mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista, que hubo de retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución Francesa. Allí sobrevivieron de forma precaria, por lo que el pequeño Cauchy creció desnutrido y débil. Con veintisiete años, Augustin-Louis Cauchy era ya uno de los matemáticos de mayor prestigio, y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las trescientas páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas.




Karl Friedrich Gauss

(Karl o Carl Friedrich Gauss; Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria. En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides)




BIBLIOGRAFIA


https://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/heron.htm


CONSTRUCCION DE EJERCICIOS  EN GEOGEBRA
¿Qué es Geogebra?
Es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje  de las Matemáticas para educación en todos sus niveles.  Combina dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y estadística en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente.
          Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en tablas y planillas, y hojas de datos dinámicamente vinculadas.
          Geogebra es en su origen la tesis de Markus Hohenwarter, con el objeto de crear una 2
           Fue un proyecto que se inició en el 2001 en un curso de Matemática en la Universidad de Salzburgo (Austria). Actualmente, Geogebra continúa su desarrollo en la Universidad de Boca Raton, Florida Atlantic University (USA). Pero no tenemos que olvidar que GeoGebra está diseñado con mentalidad colaborativa. Desde la página oficial disponemos de acceso a ayudas, recursos, foros y wikis que usuarios de todo el mundo mantienen en constante renovación (ver Geogebra work team)

¿POR QUÉ ES INTERESANTE UTILIZAR GEOGEBRA?
   Además de la gratuidad y la facilidad de aprendizaje, la característica más destacable de GeoGebra es la doble percepción de los objetos, ya que cada objeto tiene dos representaciones, una en la Vista Gráfica (Geometría) y otra en la Vista Algebraica (ÁlGebra). De esta forma, se establece una permanente conexión entre los símbolos algebraicos y las gráficas geométricas. Todos los objetos que vayamos incorporando en la zona gráfica le corresponderán una expresión en la ventana algebraica y viceversa.

EJEMPLO DE DESARROLLO DE EJERCICIOS EN GEOGEBRA  
      
1. Hacemos su descarga del programa GEOGEBRA; esta es gratuita: https://www.geogebra.org/?lang=es

2. Abrimos el programa: damos clic en el icono que lo representa, aparece la siguiente pantalla.



3. buscamos menú y le damos la opción vista






4. buscamos la opcion “calculo simbolico (CAS)





5. Aparece la siguiente pantalla, donde está el número 1. Vamos a escribir el ejercicio a desarrollar. Y le damos la opción factorizar. 




  6. Aparece la solución de problema  solicitado.

     


BIBLIOGRAFIA


Características de geogebra: tomado de:
https://sites.google.com/site/geogebra1112/caracteristicas-de-geogebra

Algunos ejemplos desarrollados con geogebra:


lunes, 10 de diciembre de 2018


enlace en donde de una forma didáctica mostramos como se resuelve la factorizacion realizando diferentes actividades

https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/buscando-ando#.XArCM9szbIU

Suma o diferencia de cubos ejemplos de factorización





















7














Suma y Diferencia de Cubos Perfectos

Se aplica solamente en binomios, donde el primer término
es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo).
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números
cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27,
64, 125, 216, 343, 512,
729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son
múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p,
18c, etc.).

- Se extrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente
se le extrae la raíz cúbica normalmente (por ejemplo:
 √ ) y a las letras,
su exponente se divide entre 3 (por
                         
ejemplo: √ ; √ ; √ ). Esto se
justifica por la propiedad de la radicación: √ ⁄ .
Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por
multiplicación).
En el primer paréntesis (llamado FACTOR CORTO) se construye
un binomio con las raíces cúbicas que ya se obtuvieron. En el segundo paréntesis
(llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los términos que se anotaron
en el factor corto, en el siguiente orden: el primero al cuadrado, luego el primero
por el segundo y, por último el segundo al cuadrado.
Por último definimos los signos, de la siguiente manera: Si
se trata de una suma de cubos, en el factor corto va signo positivo y en el factor
largo van signos intercalados iniciando con positivo. Si tenemos una
diferencia de cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor
largo van signos positivos.
Los siguientes son los modelos que resumen lo anterior: Suma
de Cubos:
                               
Diferencia de Cubos:
                               IMPORTANTE:
En algunas ocasiones el factor corto puede volverse a factorizar (debe revisarse).
El factor largo no es necesario inspeccionarlo ya que no permite ser factorizado.

Factorizar:             
Como puede observarse, es un binomio que reúne las características
de una suma de cubos perfectos. Entonces, extraemos la raíz cúbica de cada término:
     
             ; √   
        .
Ahora procedemos a armar el factor corto y el factor largo,
siguiendo las instrucciones que se dieron:
            [                                       ]
Desarrollamos las operaciones pendientes en el factor
largo:
                                

Factorizar:              
Como puede observarse, es un binomio que reúne las características
de una diferencia de cubos perfectos. Entonces, extraemos la raíz cúbica de cada
término: √ ; √  .
Ahora procedemos a armar el factor corto y el factor
largo, siguiendo las
instrucciones que se dieron:
             [                                         ]
Desarrollamos las operaciones pendientes en el factor
largo:
                                    

Trinomio de la forma x2 +bx + c






PRINCIPALES CASOS DE FACTORIZACIÓN

CASO

Características y
cuándo aplicarlo

Cómo realizar la factorización

Ejemplos












6









Trinomio de la forma ax2n+bxn+c

El trinomio debe estar organizado en forma descendente.
El coeficiente principal (es decir, del primer término)
debe ser positivo y diferente de uno (a≠1).
El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del
grado (exponente) del segundo término.

Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el
coeficiente principal, es decir, a.
En el numerador efectuamos la propiedad distributiva teniendo
presente que en el segundo término el producto no se realiza sino que se deja
expresado: la cantidad que entra y la variable quedan agrupadas dentro de un
paréntesis y el coeficiente original queda por fuera.
Se expresa el primer término como el cuadrado de lo que quedó
en paréntesis en el segundo término.
Aplicamos caso 5 (Trinomio de la forma x2n+bxn+c) en el numerador.
Aplicamos caso 1 (Factor común) en los paréntesis formados.
Finalmente, simplificamos la fracción (para eliminar el denominador).

Factorizar:              
Multiplicamos y dividimos el trinomio por 6, que es el
coeficiente principal:
              

En el numerador, distribuimos el 6 cuidando de dejar el producto
indicado en el
segundo término (el 6 se adhiere a la variable y quedan dentro
de un paréntesis). Observe que el coeficiente original del segundo término (es
decir 5)
             
queda por fuera:          
Expresamos el primer término como el cuadrado de lo que
quedó en paréntesis
             
en el segundo término:           
Aplicamos el caso 5 (Trinomio de la forma x2n+bxn+c) en el
numerador: Abrimos dos grupos de paréntesis, repartimos en cada uno de ellos,
cuadramos los signos y buscamos dos cantidades que multiplicadas nos den y que
sumadas nos den . Se trata de y Entonces la factorización en el
            
numerador queda así:             
Ahora aplicamos caso 1 (Factor común) en los paréntesis
formados:
                

Por último simplificamos el y el del numerador con el del
denominador, y
de esta manera llegamos a la factorización del trinomio
propuesto:
                  










- El trinomio debe estar organizado en

- Primero debemos verificar que se

Factorizar:                   
Como cumple con las condiciones, procedemos a extraer la raíz
cuadrada del primer y tercer término:
       
√            ; √          
Ahora realizamos el doble producto de las raíces
obtenidas:
                    
Nótese que nos dio como resultado el segundo término, luego
tenemos un TCP. Su factorización queda así:              

Factorizar:                  
Como cumple con las condiciones, procedemos a extraer la raíz
cuadrada del
     
primer y tercer término: √ ; √      
Ahora realizamos el doble producto de las raíces
obtenidas:          Nótese que nos dio como resultado el segundo
término (sin considerar su signo). Quiere decir esto que tenemos un TCP. Su
factorización queda así:
            





forma ascendente o descendente

trata de un Trinomio Cuadrado





(cualquiera de las dos).

Perfecto (TCP). Para ello extraemos la





- Tanto el primero como el tercer

raíz cuadrada tanto del primer como





término deben ser positivos. Asimismo,

del tercer término.





esos dos términos deben ser cuadrados

- Realizamos el doble producto de las



Trinomio

perfectos (es decir, deben tener raíz

raíces obtenidas y comparamos con el

4

Cuadrado
Perfecto

cuadrada exacta). En otras palabras, el
primero y el tercer término deben

segundo término (sin fijarnos en el
signo de éste). Si efectivamente nos



(TCP)

reunir las características de los términos

da, entonces tenemos un TCP.





que conforman una Diferencia de

- La factorización de un TCP es un





Cuadrados Perfectos (Caso 3).

binomio al cuadrado, que se







construye anotando las raíces







cuadradas del primer y tercer







término, y entre ellas el signo del







segundo término.

GRANDES MATEMÁTICOS QUE APORTARON AL CONOCIMIENTO DE LA MATEMATICA Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Bab...